从「日星合一」到「末日算法」

December 23, 2023

前言

给定任意一个阳历日期，如何心算它是星期几？比如，2424年1月1日是星期几？

答案是星期一。因为2024年1月1日是星期一，而任意一天与400年后的同一天的星期数是相同的。（规律1）

有些读者可能会说，2424年1月1日这个日子太特殊了，换个普通的日子怎么办，比如12345年6月7日是星期几？

答案是星期四。我并没有使用计算机，而是使用「末日算法」来心算的，这个算法可以让你心算任意一个阳历日期是星期几。

直接介绍这个算法会有些枯燥，因此不妨先介绍我是如何了解到这个算法的。

日星合一

作为一名打工者，确认今天是星期几以及何时是星期六已经成为我的刚需。大多数情况下，我会在手机或电脑查日历来解决这个需求，但有时我也会根据之前的日子推算出来。

后来我慢慢留意到一些特别容易推算星期几的日子，比如2023年5月1日，这一天刚好是星期一。那么2023年5月的任意一天都特别容易计算对应的星期数——你只需要将日期除以7求余数即可。

为了表扬这些特殊的日子，我自作主张，给它们起了个名字：「日星合一」。（即日期数和星期数都是一）

那么多久会出现一次「日星合一」呢？经过推算，我得出结论：每年至少会出现一次，至多会出现三次。（规律2）

比如，2023年只有一次「日星合一」，发生在5月1日；2024年则有三次「日星合一」，分别发生在1月1日、4月1日和7月1日。后来我建了一个 Github 仓库, 来计算「日星合一」的日子，同时也想看看下自己还能发现什么规律。

后来我浏览维基百科词条 Determination of the day of the week，里面提供了多种计算任意日期是星期几的算法。大部分算法看起来都有点复杂，并不适合心算，直到我看到一个词条：Doomsday rule （直译是「末日法则」，但更广为人知的名字是「末日算法」）。

末日算法

「末日算法」（Doomsday rule）是英国数学家康威（John Horton Conway）发现的，学过编程的朋友可能会对这个名字有点印象。因为康威还设计过一个计算机程序「生命游戏」（Game of Lfe），我读大学时的《数据结构》的教科书里就提到过这个游戏。

末日

这个算法中，最有意思同时也最具有创造力的地方是提出「末日」（Doomsday）的概念。康威发现每年都有一些比较容易记忆的日子，它们的星期数是相同的，比如每年的4月4日、6月6日、8月8日、10月10日和12月12日的星期数都是相同的。（规律3）于是康威把这些日子称为「末日」。(所以这里的「末日」与我们平时常说的「世界末日」没有任何关系)

以上这五个日子特别好记，只需记住月份和日期是相同的大于2的偶数即可。除了这五个日子之外，5月9日、9月5日、7月11日和11月7日也是「末日」。这四个日子可以用一句话来联想记忆：「我在 7-11 便利店上班，朝九晚五。」此外，1月3日/4日（平年对应1月3日，闰年对应1月4日）和2月份最后一天（平年对应2月28日，闰年对应2月29日）也是「末日」。 3月份本来没有「末日」，但为了避免落单，把3月0日作为「末日」，其实就是2月份最后一天。

心算任意一天是星期几

就这样，我们每个月都找到了一个「末日」，它们的星期数是相同的。只要我们知道某一年的「末日」是星期几，以「末日」为参考点，我们就能心算这一年任意一天是星期几了。比如，2023年的「末日」是星期二，那么2023年12月25日是星期几呢？心算过程如下：2023年的「末日」是星期二，那么2023年12月12日是星期二，2023年12月25日比2023年12月12日多13天，(2+13)%7=1，因此是星期一。非常简单，不是吗？

心算任意年份的「末日」

有些读者可能会问：我怎么知道任意一年的「末日」是星期几呢？

答案是：首先你需要记住整百的年份的「末日」，然后以它们为参考点，就可以心算任意年份的「末日」了。

由于400年一循环（任意年份与400年后的年份的「末日」必然相同），所以只需记住除以400的余数分别为0, 100，200 和 300 的年份的「末日」即可。比如 1600年，1700年，1800年和1900年，它们的「末日」依次是星期二、星期日、星期五、星期三。

（这里也有个小规律：每增加100年，对应的「末日」的星期数增加5，所以其实只需要记住1600年的「末日」是星期二即可）

知道整百的年份的「末日」之后，我们就可以 心算任意一个年份的「末日」了（规律4）：

确认年份对应的整百年份的「末日」，记为 C；
将年份除以 100，取余数（其实就是年份后两位），记为 Y;
将 Y 除以 4，取商，记为 L；
计算 (C+Y+L) % 7，即为对应年份的「末日」的星期数。

以2023年为例，心算过程如下：

2023年对应的整百年份是2000，其「末日」是星期二，即 C=2；
2023年的后两位是23，即 Y=23；
23除以4的商是5，即 L=5；
计算 (2+23+5) % 7 =2，因此2023年的「末日」是星期二。

证明

上面提到了4个规律：

规律1：任意一天与400年后的同一天的星期数是相同的。
规律2：「日星合一」现象每年至少会出现一次，至多会出现三次。
规律3：每年2月的最后一天、4月4日、5月9日、6月6日、7月11日、8月8日、9月5日、10月10日、11月7日和12月12日的星期数都是相同的。
规律4：心算任意年份的「末日」的算法。

接下来简单给出这4个规律的证明思路（当然，我鼓励有兴趣的读者可以先停下来，尝试自己证明）：

证明规律1

任意400年期间，会有97个闰年和303个平年；
对于任意日期，每个平年的星期数会增加1（因为365除以7的余数是1）；每个闰年的星期数会增加2（因为366除以7的余数是2）；
由于 303 + 97 * 2 = 497，而 497 刚好能被7整除，所以任意日期过了400年后星期数不变。

证明规律2

利用同余性质，很容易算出哪些月的第一天的星期数是相同的，不妨将第一天的星期数相同的月份分组。

平年时的分组如下：

第1组：1月、10月
第2组：2月、3月、11月
第3组：4月、7月
第4组：5月
第5组：6月
第6组：8月
第7组：9月、12月

闰年时的分组如下：

第1组：1月、4月、7月
第2组：2月、8月
第3组：3月、11月
第4组：5月
第5组：6月
第6组：9月、12月
第7组：10月

可见，无论是平年或闰年，都刚好有7个组，由于不同组的星期数不同，这意味着必有1组是星期一；又由于每组的数量只有1、2或3这三种情况，因此月份第1天是星期一的情况至少1个，至多3个。

证明规律3

每年2月的最后一天、4月4日、5月9日、6月6日、7月11日、8月8日、9月5日、10月10日、11月7日和12月12日，这些日期中，下一个日期与上一个日期的间隔分别是35、35、28、35、28、28、35、28 和 35，都是7的倍数，因此它们的星期数都相同。

证明规律4

这个算法的核心是计算任意年份与对应的整百年份的「末日」的偏移量。根据规律1，平年的偏移量为1，闰年的偏移量为2；而 Y+L 便是平年和闰年对应的偏移量的总和。

后记

本文讨论的所有规律或算法，其实只需要小学时的「同余」知识就能证明。这就是数学的一大魅力——一个简单的定理却可以推导出很多有趣的规律。

最后，也许有人会问：「研究这些东西有什么用呢？不会显得你很无聊吗？」我曾经也这样自问，直到我在维基百科词条Determination of the day of the week 看到高斯也提出了一个计算某天是星期几的算法，我终于释怀：我何德何能，又何等荣幸，能跟有史以来最伟大的数学家之一、被誉为「数学王子」的高斯研究过同一个问题！